R语言学习,到底怎么做啊T﹏T！

Question

1.用变换法生成服从如下分布的随机数：Beta(n，1)分布，密度为p(x)=nx^n-1,x∈[0,1]

2.设随机变量X的分布函数为G(x)，密度函数为g(x).对a<b，令F(x)=G(x)-G(a)/G(b)-G(a),a<x<b.
(1)F(x)是一个分布函数，其对应的分布是X在什么条件下的条件分布?
(2)证明可以用如下方法生成F(c)的随机数：反复生成X~G(x)，直到X∈(a，b)，输出X的值为F(x)的随机数

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

1. 用变换法生成服从Beta(n,1)分布的随机数： 首先，Beta(n,1)分布的密度函数为： p(x) = nx^(n-1) , x∈[0,1] 令Y = X^n，则 Y 的密度函数为： p(Y) = P(X^n ≤ Y) = P(X ≤ Y^(1/n)) = ∫[0,Y^(1/n)] p(x) dx = n*Y^(1/n) * ∫[0,1] x^(n-1) dx = Y^(1/n) 因此，Y服从区间[0,1]上的均匀分布U(0,1)，且X = Y^(1/n)服从Beta(n,1)分布。 生成 Beta(n,1) 随机数的具体步骤为：

1. 生成 U ~ U(0,1)
2. 计算 X = U^(1/n)
3. X即为服从 Beta(n,1) 分布的随机数。 实现代码如下：

import random
import math
def beta(n):
    u = random.random()
    x = math.pow(u, 1/n)
    return x

1. 设随机变量 X 的分布函数为 G(x)，密度函数为 g(x)。对 a<b，令 F(x) = (G(x)-G(a))/(G(b)-G(a))，a<x<b。 (1) F(x)是一个分布函数，其对应的分布是 X 在 [a,b] 区间内的条件分布。 证明： 首先，F(x) 是单调递增的连续函数，并且当 x → a+ 时 F(x) → 0，当 x → b- 时 F(x) → 1，因此 F(x) 是一个分布函数。 其次，对于任意实数 c∈[a,b]，有： P(X≤ c | X∈[a,b]) = (G(c)-G(a))/(G(b)-G(a)) = F(c) 因此，F(x) 对应的分布是 X 在 [a,b] 区间内的条件分布。 (2) 证明可以用反复生成 X~G(x)，直到 X∈(a，b)，输出 X 的值为 F(x) 的随机数。 证明： 假设从分布函数 G(x) 中生成的随机数为 Y 。 若 Y∈[a,b]，则直接计算 X = Y 对应的 F(X) 的值即可。 若 Y<b，根据条件概率公式，有： P(X > b | X > a) = (1 - P(X ≤ b | X > a)) / (1 - P(X ≤ a | X > a)) 由于 G(x) 是连续的分布函数，因此： P(X ≤ b | X > a) = (G(b) - G(a)) / (G(∞) - G(a)) P(X ≤ a | X > a) = 0 代入条件概率公式，有： P(X > b | X > a) = (G(∞) - G(b)) / (G(∞) - G(a)) 因此，生成的 Y∈[a,b] 的概率为： P(Y∈[a,b]) = P(a≤ X ≤ b | X > a)P(Y > b | Y> a) = (G(b) - G(a)) / (G(∞) - G(a)) * (G(∞) - G(b)) / (G(∞) - G(a)) = (G(∞) - G(b)) / (G(∞) - G(a)) 因此，反复生成 Y~G(x)，直到 Y∈[a,b]，输出 X = Y 对应的 F(X) 值即可。 实现代码如下：

def conditional_distribution(G, a, b):
    while True:
        y = G()
        if y >= a and y <= b:
            return (y-a)/(b-a)