微积分求极限，数学题

Question

怎么解？答案有点没看懂，可以一题多解吗？
怎么解？答案有点没看懂，可以一题多解吗？

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

当然可以，让我们一步一步地解决这个极限问题。

题目要求计算的是当 ( x ) 趋近于 1 时，函数 ( (1 - x + \ln(x)) ) 的极限。我们可以尝试直接代入 ( x = 1 )，但由于 ( \ln(1) = 0 ) 和 ( 1 - 1 = 0 )，这会导致分子和分母都为零，形成一个不定式 ( 0/0 )。根据洛必达法则（L'Hôpital's Rule），在这种情况下，我们可以通过对分子和分母分别求导，然后再计算极限来简化问题。

首先，我们需要对分子和分母分别求导：

分子：( f(x) = 1 - x + \ln(x) ) 分子的导数：( f'(x) = -1 + \frac{1}{x} )

分母：( g(x) = x ) 分母的导数：( g'(x) = 1 )

接下来应用洛必达法则：

[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} ]

将各自的导数代入得到：

[ \lim_{x \to 1} \frac{-1 + \frac{1}{x}}{1} ]

现在我们将 ( x ) 替换为 1 来计算这个新的极限：

[ \lim_{x \to 1} \left(-1 + \frac{1}{x}\right) = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0 ]

所以，原极限的结果是 0。

这里提供了一个简单的解答，如果你想要更多的解题方法，例如通过分析函数在 ( x ) 接近 1 时的行为，或者使用泰勒级数展开来逼近极限，这些方法可能会稍微复杂一些，但也可以实现。不过，对于这个问题而言，洛必达法则已经足够简单且有效。如果你对洛必达法则或其他方法有任何疑问，随时向我提问。