微积分中的方向导数相积问题

Question

请问有谁知道方向导数是梯度与单位向量作内积是怎样证明出来的？

Answer 1

方向导数是梯度与单位向量作内积的证明，可以从几何意义上来证明。

首先，我们来看一个简单的例子，假设我们有一个函数f(x,y)，它的梯度是(∂f/∂x,∂f/∂y)，我们想要计算在单位向量u=(u1,u2)方向上的方向导数，那么可以用下面的公式来计算：

方向导数=梯度·单位向量= (∂f/∂x,∂f/∂y)·(u1,u2) = ∂f/∂x·u1 + ∂f/∂y·u2

从上面的公式可以看出，方向导数是梯度与单位向量作内积。

从几何意义上来看，方向导数可以理解为在单位向量u方向上函数f的变化率，而梯度是函数f的变化率，因此梯度与单位向量作内积就是在单位向量u方向上函数f的变化率，也就是方向导数。