二次项显著但单门槛回归不显著怎么确定倒U型关系？

Question

先做的门槛回归，发现单门槛、双门槛和单门槛都不通过，不显著。但是加入二次项回归后，一次项显著正相关，二次项显著负相关，请问这是倒U型关系吗？
另外又根据连享会的方法加入二次项后又做了断点回归，回归后一个三颗星显著正相关，一个负相关，但是只有一颗星显著。

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

在您提供的信息中，您已经进行了门槛回归分析，并且在加入二次项后的一元线性回归分析中观察到了一次项显著正相关（可能是截距项加上一次项），而二次项显著负相关的情况。这通常意味着存在一种倒U形的关系，即随着变量的增加，起初因变量的增长是正的，但当达到某个阈值后，增长开始变慢甚至变为负增长。

要确认这种倒U形关系，您可以尝试以下步骤：

1. 绘图：首先，绘制因变量对自变量的散点图，然后将拟合的曲线画出来。对于一次项和二次项的组合，这个函数可以表示为：

   [ Y = a + bX + cX^2 ]

   其中，( a ) 是截距，( b ) 是一次项系数，( c ) 是二次项系数。如果 ( c ) 为负并且显著，那么图形应该呈现倒U形。

2. 模型诊断：检查残差图，确保满足线性回归的基本假设，例如残差的均值为零，方差恒定，以及随机分布等。

3. 断点检验：虽然您已经进行了断点回归并得到了一些结果，但考虑到只有一颗星显著，可能还需要进一步验证断点的存在。可以考虑使用其他方法比如野值检测，或者使用更复杂的方法，如局部线性断点回归（LOESS）来寻找潜在的转折点。

4. 敏感性分析：检查您的数据是否存在异常值或极端值，这些可能会导致回归结果的不稳定。进行敏感性分析，移除可能影响结果的数据点，看是否改变结论。

5. 交叉验证：为了增强结果的稳健性，您可以使用交叉验证技术来重复您的分析，看看结果是否一致。

6. 报告解释：在报告结果时，不仅要描述统计上的显著性，还要解释实际意义。描述当自变量增加时，因变量如何变化，并指出在哪个点上这种关系开始逆转。

下面是一个简单的Python代码示例，用于拟合模型并绘制曲线。这里我们使用了statsmodels库中的OLS（普通最小二乘法）和smf.ols（公式接口）来进行线性回归，并使用matplotlib库来绘制图形。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.graphics.regressionplots import abline_plot

# 假设 df 是包含因变量 'Y' 和自变量 'X' 的 DataFrame
df = pd.read_csv('your_data.csv')  # 替换为你的数据文件路径

# 拟合模型
model = ols('Y ~ X + I(X**2)', data=df).fit()
print(model.summary())

# 绘制散点图和拟合曲线
plt.scatter(df['X'], df['Y'])
x_range = np.linspace(min(df['X']), max(df['X']), num=100)
y_pred = model.predict(pd.DataFrame({'X': x_range, 'I(X**2)': x_range**2}))
plt.plot(x_range, y_pred, color='red')
abline_plot(model=model, ax=plt.gca(), include_intercept=False)

plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Scatterplot and Fitted Curve')
plt.show()

请将上述代码中的 your_data.csv 替换成您的数据文件路径，并确保数据格式正确。这段代码将会显示散点图及拟合的曲线，帮助您直观地判断是否存在倒U形关系。