贪心算法解决纸牌均分

Question

针对纸牌均分问题，如何证明贪心算法的正确性？
问题描述：
有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。
移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

目标:移动次数最少
贪心策略:每堆牌最多移动一次

Answer 1

引自免费微信小程序：皆我百晓生

贪心算法解决纸牌均分问题

算法原理

为了最小化移动次数，我们采用如下贪心策略：对于每一堆纸牌，我们只移动它一次，将其移动到目标位置（即每堆应有的纸牌数），这个目标位置可能是其左边或右边的某堆。这样做的关键在于确定每堆纸牌的目标位置以及移动的方向。

算法步骤

1. 计算目标纸牌数：首先，计算出每堆应该有的纸牌数，即总纸牌数除以堆数N。
2. 初始化变量：定义两个指针left和right，分别指向最左边和最右边未处理的堆。
3. 确定移动方向：从left开始，如果当前堆的纸牌数小于目标值，则尝试从右边的堆中获取纸牌；如果大于目标值，则尝试向右边的堆中移动纸牌。反之，从right开始做相反的操作。
4. 更新指针：每次成功移动后，更新left或right指针，确保它们始终指向下一个未处理的堆。
5. 重复步骤：重复上述过程直到所有堆都被处理过。

证明贪心策略的正确性

要证明此策略的正确性，我们需展示以下几点：

• 移动次数最少：由于每堆纸牌仅移动一次，且总是向目标位置移动，这保证了移动次数的最小化。
• 可行性：每次移动都是在相邻堆之间进行，符合题目规则。
• 目标达成：通过不断调整，最终每堆纸牌数将等于目标值。

示例代码

def min_moves_to_equal_elements(card_piles):
    # 计算目标纸牌数
    target = sum(card_piles) // len(card_piles)
    
    # 初始化左右指针
    left, right = 0, len(card_piles) - 1
    moves = 0
    
    while left < right:
        # 从左边开始处理
        if card_piles[left] < target:
            diff = target - card_piles[left]
            # 尝试从右边的堆中获取纸牌
            for i in range(right, left, -1):
                if card_piles[i] >= diff:
                    card_piles[i] -= diff
                    card_piles[left] += diff
                    moves += (i - left) * diff
                    break
            else:
                # 如果右边没有足够的纸牌，调整right指针
                right -= 1
        elif card_piles[left] > target:
            diff = card_piles[left] - target
            card_piles[left] -= diff
            # 向右边的堆中移动纸牌
            for i in range(left + 1, right + 1):
                needed = min(diff, target - card_piles[i])
                card_piles[i] += needed
                moves += (i - left) * needed
                diff -= needed
                if diff == 0:
                    break
        # 更新left指针
        left += 1
    
    return moves

# 测试数据
card_piles = [1800, 400, 1400, 200, 800]
print(min_moves_to_equal_elements(card_piles))

结论

此算法通过贪心策略实现了最小化移动次数的目标，同时保证了每堆纸牌数相等，满足题目要求。