请问左奇异向量怎么求解呢？

Question

最近在学习tucker分解，在HOOI的伪代码里看到了一个左奇异向量求解的步骤，不知道是怎样实现的过程。请问怎么求解呢？如果能提供简单的数学案例更好了

Answer 1

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左奇异向量（LEFT SINGULAR VALUE DECOMPOSITION）是统计学中的一种特例，它是指一组向量，其中每个向量的方差（即单位向量平方的绝对值）都是正数的，这种向量称为奇异向量。奇异向量通常与线性无关，也就是说它们不依赖于矩阵中的任何元素。奇异向量可以用来描述一个矩阵的一个特征，从而得到一个矩阵的特征向量或特征空间。因此，奇异向量和奇异值都可以用来表示一个矩阵的特征。

奇异值分解（SVD）是一种高效的计算奇异值的方法，它使用了一个叫做“最小化余弦相似度”的方法来找到这些奇异值，并将它们转换为一组正交的向量。这一步骤被称为“逆余弦相似”（ORTHOGONALIZATION），因为这是通过计算一组正交向量的余弦相似度来达到这个目的。

下面是一个PYTHON的示例：

IMPORT NUMPY AS NP

DEF SVD_MATRIX(A):
    # COMPUTE THE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION OF A.
    U, S, V = NP.LINALG.SVD(A)

    RETURN U, S, V

# EXAMPLE USAGE:
A = NP.ARRAY([[1, 2], [3, 4]])
U, S, V = SVD_MATRIX(A)
PRINT("THE SINGULAR VALUES ARE:", S)
PRINT("THE EIGENVECTORS ARE:", V)

这段代码首先定义了一个函数SVD_MATRIX，它接受一个向量数组作为输入，并返回一个元组，包括主对角矩阵、奇异值和特征向量。然后，我们使用这个函数来计算一个例子中的矩阵A。

在这个过程中，我们首先计算主对角矩阵U，然后计算奇异值S，最后计算特征向量V。这个过程使用了NUMPY库进行矩阵运算。

请注意，这个例子只是一个基本的例子，实际应用可能需要处理更多的情况，例如处理更复杂的奇异值分解问题，或者在不同的机器学习任务中使用奇异值分解。