求解一个二维静态场的电位分布，电位满足拉普拉斯方程

Question

求解一个二维静态场的电位分布，电位满足拉普拉斯方程，如下所图示，设U0=10V，U1=4V，a=10m，b=8m。三种求解方法：分离变量法、有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）。
求解分析基于分离变量法的解析解

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

在二维平面中，我们可以应用分离变量法和有限元法来解决这个问题。

分离变量法

首先，我们考虑将问题转换为两个独立的积分方程。对于二维空间中的电位函数φ(x, y)，我们需要找到一个可以满足拉普拉斯方程的函数u(x, y)。拉普拉斯方程是：

[ \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 ]

在这个问题中，由于电位函数满足拉普拉斯方程，所以电位函数本身就是一个解。因此，我们不需要进一步寻找其他变量。我们可以将电位函数表示为：

[ φ(x, y) = U_0 + U_1 \sin(\theta) \cos(\phi) - \frac{U_1}{a}\left(1 + \tan^{-1} \left(\frac{x-a}{y-b}\right)\right) ]

其中，θ和φ分别代表x轴上和y轴上的角度坐标。

为了简化计算，我们将电位函数表示为：

[ φ(x, y) = φ_{x}(x, y) + φ_{y}(x, y) = U_0 + U_1 \sin(\theta) \cos(\phi) - \frac{U_1}{a} \left(1 + \frac{(x-a)}{(y-b)}\right) ] 这里，φ_x 和 φ_y 分别是沿x和y方向的偏导数。

有限差分法 (FDM)

FDM 是一种数值方法，用于近似求解连续不可微分方程。在这种情况下，我们可以使用 FDM 来求解电位分布。具体步骤如下：

1. 我们将整个区域划分为网格，并对每个点进行采样。
2. 对于每个网格点，计算其周围的几个邻域内的平均电位值。
3. 根据这些值，计算电位在网格点上的值。

有限元法 (FEM)

FEM 是一种结构化求解方法，它通过将复杂的问题分解成更小的子问题来提高效率。在二维空间中，我们可以使用四边形或五边形等单元来构建模型。然后，我们可以应用边界条件（如端面电压等于零）和材料属性（例如电阻率）来求解电位分布。

结果展示

为了验证我们的解决方案是否正确，我们可以绘制出电位分布图。这可以通过编程实现，例如使用 Python 的 matplotlib 库。此外，也可以使用一些可视化工具，如 GeoGebra 或 Mathematica，来直观地显示结果。

请注意，实际应用中可能需要使用更为复杂的数学建模方法，例如解析法、高阶数值方法等。然而，根据给定的数据和要求，上述两种方法已经足够处理二维静止场问题并得到电位分布的近似值。