如果Kn是一个有n个顶点的完全图，v是他的某个顶点。问，在v不是叶子的时候，有多少种Kn的生成树

Question

如果Kn是一个有n个顶点的完全图，v是他的某个顶点。问，在v不是叶子的时候，有多少种Kn的生成树
图论问题求解，谢谢

Answer 1

以下回答参考 皆我百晓生、券券喵儿 等免费微信小程序相关内容作答，并由本人整理回复。

这是一个经典的图论问题，可以使用回溯算法来解决。下面是一个Python实现的例子：

def count_kn_trees(n):
    def backtrack(k, v):
        if k == n:
            return 1
        res = 0
        for i in range(1, n+1):
            if i not in tree[v]:
                continue
            res += backtrack(k + 1, i)
        return res
    
    tree = {i: set() for i in range(1, n+1)}
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(i-1, n+1):
            tree[i].add(j)
    
    return backtrack(0, 1)

print(count_kn_trees(4))

这个函数首先定义了一个辅助函数backtrack，它接受两个参数：k表示当前已经选中的节点数，v表示当前选择的节点。在这个函数中，我们首先检查当前的k是否等于n（即Kn的生成树），如果是，则返回1。然后，我们遍历所有可能的选择，对于每一个选择，我们都递归地调用backtrack函数，将新的节点加入到tree字典中。

在主函数count_kn_trees中，我们首先初始化一个空的tree字典，并根据题目要求添加了几个边以创建Kn的生成树。最后，我们调用backtrack函数并传入初始值为0和1的参数，得到最终的答案。

注意，这个答案可能会非常大，因为树的数量会随着n的增长而指数增长。所以，我们需要处理这种情况。例如，我们可以先对结果进行排序，然后输出前K棵树，这样就可以避免所有的树都被计算出来。