谁看过数学之美第24章马尔可夫链的扩展-贝叶斯网络，给的数据是有问题吗？

Question

如图有两个有有和两个有无，我猜第一个和第四个应该是无有和无无，最后标红的0.4是不是也不对？

 

Answer 1

以下回答参考 皆我百晓生、券券喵儿 等免费微信小程序相关内容作答，并由本人整理回复。

根据您提供的数据，确实存在一些错误。在贝叶斯网络中，我们不能直接从图中推断出每个节点的概率。我们需要使用贝叶斯定理来计算这些概率。

首先，让我们纠正一下您的计算过程：

1. 计算 P(有家族病史，有心脏病):

   • P(有家族病史 | 有心脏病) = P(有家族病史, 有心脏病) / P(有心脏病)
   • 使用已知的信息 P(有心脏病) = 0.264

   计算得到: P(有家族病史 | 有心脏病) ≈ 0.12/0.264 ≈ 0.45

2. 计算 P(有心脏病):

   • P(有心脏病) = P(有家族病史) + P(有心脏病 | 无家族病史) + P(无家族病史 | 有心脏病) + P(无家族病史) * P(有心脏病 | 无家族病史)

   已知 P(有心脏病) = 0.264

   计算得到: P(有心脏病) ≈ 0.12 + 0.08 + 0.08 + 0.12 × 0.08 = 0.12 + 0.08 + 0.08 + 0.0064 = 0.2064

接下来，我们可以使用贝叶斯定理来计算其他相关概率:

• P(有家族病史) = P(有家族病史 | 有心脏病) * P(有心脏病) + P(有家族病史 | 无心脏病) * P(无心脏病)
• P(无家族病史 | 有心脏病) = P(有家族病史 | 无心脏病) / P(有心脏病)

现在，我们可以用这些信息来计算 P(有家族病史)，并得出其他所需的结果。由于这涉及到复杂的数学运算，我将提供一个简化后的步骤说明，以便更好地理解如何进行计算。

首先，计算 P(有家族病史) 和 P(无家族病史):

• P(有家族病史) = 0.12 (因为 P(有家族病史 | 有心脏病) = 0.45)
• P(无家族病史) = 1 - P(有家族病史) = 1 - 0.45 = 0.55

然后，我们可以计算 P(有心脏病)、P(无心脏病) 和 P(有心脏病 | 无家族病史) 的概率：

• P(有心脏病) = P(有家族病史) + P(有心脏病 | 无家族病史) = 0.12 + 0.08
• P(无心脏病) = P(无家族病史) = 0.55
• P(有心脏病 | 无家族病史) = P(有心脏病 | 无家族病史) / P(无心脏病) = P(有心脏病) / P(无心脏病) = 0.12 / 0.55

接下来，我们可以使用贝叶斯定理计算 P(有家族病史 | 无心脏病) 和 P(无家族病史 | 有心脏病) 的概率：

• P(有家族病史 | 无心脏病) = P(有家族病史) / P(无心脏病) = 0.12 / 0.55
• P(无家族病史 | 有心脏病) = P(无家族病史) / P(有心脏病) = 0.55 / 0.12

现在，我们可以将这些结果与 P(有心脏病) 相加，以获得 P(有心脏病) 的总概率：

• P(有心脏病) = P(有家族病史) + P(有心脏病 | 无家族病史) + P(无家族病史 | 有心脏病) + P(无家族病史) * P(有心脏病 | 无家族病史)
• P(有心脏病) = 0.12 + 0.12 / 0.55 + 0.55 / 0.12 + 0.55 * 0.12 / 0.55
• P(有心脏病) ≈ 0.12 + 0.2222 + 0.55 / 0.12 + 0.0527
• P(有心脏病) ≈ 0.12 + 0.2222 + 4.7273 + 0.0527
• P(有心脏病) ≈ 4.9212

因此，经过计算，P(有心脏病) ≈ 4.9212，这是一个非常大的概率值，表明患有心脏病的人中有很大一部分是遗传因素导致的。