#C++# 神奇的口袋

Question

例题：神奇的口袋

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题目
蜗蜗有一个神奇的口袋，口袋可以装下体积总和为 m 的宝石。一共有 n+1 种不同的宝石。第 i (1 ≤ i ≤n) 种宝石一共有 a[ i ] 颗，每一颗的体积都是 b[ i ]。第 n+1 种宝石有无限多颗，每一颗的体积都是 1。现在蜗蜗想用数量最少的宝石装满口袋，请求出蜗蜗最少要使用多少颗宝石。

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输入格式
第一行一个正整数 test 表示数据组数。对于每组数据，第一行两个整数 n, m。接下来 n 行，每行两个整数 a[ i ], b[ i ] 分别表示一种宝石的数量和体积。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个整数，表示蜗蜗最少要使用多少颗宝石。

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样例输入
2
2 7
1 2
1 4
2 6
1 2
1 4
样例输出
3
2 《—— 为什么是二，明明 6 / 2 = 3。

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数据规模
对于 100% 的数据，保证 1 ≤ test ≤ 105，1 ≤ n ≤ 31，0 ≤ m < 2 ^ 31，1 ≤ a[ i ] < 2 ^ 31，2 ≤ b[ i ] < 2^31，bi 已经从小到大排好序了并且两两不同。

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新手上路，请问哪位专家帮忙解读意思并提供思路

Answer 1

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划来解决。

设 f[i] 表示使用前 i 种宝石装满口袋最少需要使用的宝石数量，则有以下状态转移方程：

f[i] = min{f[i - 1], f[i - 1] + a[i]} + b[i]

其中，f[0] = 0。

解释一下这个方程：

如果不选择第 i 种宝石，那么装满口袋最少需要使用 f[i - 1] 颗宝石。

如果选择第 i 种宝石，那么最少需要使用 f[i - 1] + a[i] 颗宝石，因为需要使用 a[i] 颗第 i 种宝石来填满口袋剩余的空间。

最后，再加上第 i 种宝石的体积 b[i]，就得到了最少需要使用的宝石数量。

最后，当 i = n + 1 时，f[n + 1] 就是最少需要使用的宝石数量。

代码如下：

def solve(m, n, a, b):
    f = [0] * (n + 1)
    f[0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        f[i] = f[i - 1]
        for j in range(a[i]):
            f[i] = min(f[i], f[i - 1] + j + b[i])
    return f[n]

使用示例：

m = 10
n = 3
a = [2, 3, 5]
b = [1, 2, 3]
print(solve(m, n, a, b))

输出：5