利用加权最小二乘法求亚马逊各类商品的价格指标？怎么求？

Question

一篇文献说利用加权最小二乘法求亚马逊各类商品的价格指标。

公式和求解方法如上所示，
知道了权重和实际值，到底要怎么样求得P*啊？

Answer 1

结合GPT给出回答如下请题主参考
加权最小二乘法是一种常见的回归分析方法，可以用于确定不同变量之间的关系。在本问题中，我们可以使用加权最小二乘法来估计亚马逊不同商品的价格指标。

假设我们有n个商品，每个商品有m个特征变量，我们可以将商品的价格表示为：

p = Xβ + ε

其中，p是n行1列的价格向量，X是n行m列的特征矩阵，β是m行1列的参数向量，ε是n行1列的随机扰动项。

为了确定β的最优解，我们需要最小化残差平方和：

S(β) = ∑[w(i)ε(i)]^2 i=1 to n

其中，w(i)是第i个商品的权重。

我们可以解出β的最优解：

β* = argmin[S(β)]

在这里，我们可以使用正规方程组法来求解β*，即：

β* = (X'WX)^(-1)X'WP

其中，W是n行n列的对角线矩阵，其对角线元素是w(i)，P是n行1列的价格向量。

下面是一个示例代码来演示如何使用加权最小二乘法来求解亚马逊各类商品的价格指标：

import numpy as np

# 构造数据
X = np.random.rand(100, 5)
beta = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)
epsilon = np.random.normal(size=(100, 1))
p = np.dot(X, beta) + epsilon

# 设置权重
w = np.random.rand(100)

# 构造正规方程组
W = np.diag(w)
XTWX_inv = np.linalg.inv(np.dot(np.dot(X.T, W), X))
beta_star = np.dot(np.dot(XTWX_inv, X.T), np.dot(W, p))

print("Price index for each variable: ", beta_star)

在这里，我们使用了numpy包来生成随机数据和进行矩阵计算。首先，我们生成了100个商品的价格和5个特征变量的值。然后，我们设置了每个商品的权重。最后，我们按照上述公式计算了每个变量的价格指标。