最优分配问题，c++算法求解

Question

有3种不同的货物a,b,c， 需要4种类型的车运输w,x,y,z， 每种货物运输完所需的车辆数如下：
a需要w车50辆，x车40辆，y车20辆，z车10辆
b需要w车30辆，x车20辆，y车16辆，z车8辆
c需要w车30辆，x车20辆，y车12辆，z车6辆
每种货物只能用一种车型运行，现在共有w 型车100辆 ，x型车50辆 ， y型车50辆 ， z型车16辆 ，问怎么分配车辆，才能使派出的车数最少

Answer 1

答案引用自chatgpt生成，望对题主有所帮助/启发；若有帮助，还望采纳！

最优分配问题（Assignment Problem）是组合优化中的一个经典问题，它的目标是在给定的成本矩阵中找到一种分配方式，使得总成本最小。这个问题可以用匈牙利算法（Hungarian Algorithm）来解决。

匈牙利算法的基本思想是通过不断调整行和列的匹配关系，最终找到一个最优解。具体步骤如下：

1. 初始化：将成本矩阵中的所有元素减去所在行和列的最小值，得到新的成本矩阵。
2. 寻找零元素：在新的成本矩阵中寻找值为0的元素，将其所在的行和列标记为已匹配。
3. 调整匹配关系：对于未匹配的行和列，尝试通过交换匹配关系来减少非零元素的数量。如果无法减少，则说明当前匹配关系已经是最优解。
4. 重复步骤2和3，直到找到最优解。

下面是一个使用C++实现的匈牙利算法示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int cost[MAXN][MAXN]; // 成本矩阵
int lx[MAXN], ly[MAXN]; // 标号
int match[MAXN]; // 匹配结果
bool vx[MAXN], vy[MAXN]; // DFS访问标记
int slack[MAXN]; // slack值
int n, m; // n为行数，m为列数

bool dfs(int x) {
    vx[x] = true;
    for (int y = 0; y < m; ++y) {
        if (vy[y]) continue;
        int t = lx[x] + ly[y] - cost[x][y];
        if (t == 0) {
            vy[y] = true;
            if (match[y] == -1 || dfs(match[y])) {
                match[y] = x;
                return true;
            }
        } else if (slack[y] > t) {
            slack[y] = t;
        }
    }
    return false;
}

int hungarian() {
    memset(match, -1, sizeof(match));
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        lx[i] = *max_element(cost[i], cost[i] + m);
    }
    for (int x = 0; x < n; ++x) {
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            slack[i] = INT_MAX;
        }
        while (true) {
            memset(vx, false, sizeof(vx));
            memset(vy, false, sizeof(vy));
            if (dfs(x)) break;
            int d = INT_MAX;
            for (int i = 0; i < m; ++i) {
                if (!vy[i] && d > slack[i]) {
                    d = slack[i];
                }
            }
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (vx[i]) lx[i] -= d;
            }
            for (int i = 0; i < m; ++i) {
                if (vy[i]) ly[i] += d;
                else slack[i] -= d;
            }
        }
    }
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if (match[i] != -1) {
            result += cost[match[i]][i];
        }
    }
    return result;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            cin >> cost[i][j];
        }
    }
    cout << "最小总成本为：" << hungarian() << endl;
    return 0;
}

在这个代码中，hungarian()函数实现了匈牙利算法，返回最小总成本。main()函数从标准输入读取数据，调用hungarian()函数求解，并输出结果。