运筹学排序问题中算法的应用

Question

运筹学排序问题中算法中的离线排序，其中有个算法LS算法，现在求LS算法在交通运输问题中的应用，请举例并详细说明，最后还需代码的运行，用c语言或者c++

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

LS算法（Lexicographic Sorting Algorithm）是一种离线排序算法，适用于排序元素具有多个属性的情况，排序顺序按照属性的先后顺序进行。 在交通运输问题中，LS算法可以被用来解决最短路径问题。例如，假设现有一个交通网络图，图中的顶点表示城市，边表示城市间的道路，每条边都有一个权值表示经过该边的成本（例如距离或时间）。现在需要找到两个城市之间的最短路径。 LS算法的实现步骤如下：

1. 根据每个城市到其他城市的成本，建立一张邻接矩阵。
2. 对邻接矩阵按照列进行排序，同时记录下排序后列的对应关系，即哪个城市对应哪一列。
3. 根据成本最小的列，从前往后遍历邻接矩阵的行，找到连向其它城市的最小成本。将该成本和该城市对应的列加入结果中，并将该列从邻接矩阵中删除。
4. 重复步骤3，直到所有城市都被加入结果中。 这样就可以得到两个城市之间最短路径的集合。 例子：假设有如下邻接矩阵，其中0表示无边相连，其他数字表示成本。求城市1到城市4的最短路径。

   1 2 3 4
1  0 1 3 4
2  1 0 2 0
3  3 2 0 5
4  4 0 5 0

按照第1列排序后，邻接矩阵变成：

   2 3 4 1
2  0 2 0 1
1  1 3 4 0
3  2 0 5 3
4  0 5 0 4

选择最小的列2，发现从城市2到城市1成本最小为1，将1和2加入结果集，同时删除列2

   3 4 1
1  3 4 0
3  0 5 3
4  5 0 4

选择最小的列3，发现从城市1到城市2成本最小为1，将1和3加入结果集，同时删除列3

   4 1
1  4 0
4  0 4

选择最小的列4，发现从城市1到城市4成本最小为4，将4和4加入结果集，同时删除列4 最终结果集为{(1,2),(2,1),(1,3),(3,4),(4,4)}，即城市1到城市4的所有最短路径。 C++代码实现如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
    //邻接矩阵
    int mat[4][4] = {{0,1,3,4},{1,0,2,0},{3,2,0,5},{4,0,5,0}};
    int n = 4;
    vector<pair<int,int>> res;//结果集
    //按列排序，并记录列的对应关系
    vector<int> cols(n);//记录排序后列的对应关系
    for(int j = 0; j < n; j++)
    {
        cols[j] = j;
        for(int i = 0; i < n-1; i++)
        {
            for(int k = i+1; k < n; k++)
            {
                if(mat[k][j] < mat[i][j])
                {
                    swap(mat[k], mat[i]);
                }
            }
        }
    }
    //选取成本最小的列，求出该列对应的最短路径
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int col = cols[i];
        int minCost = INT_MAX;//最小成本
        int minCity;//最小成本对应的城市
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            if(mat[j][col] != 0 && mat[j][col] < minCost)
            {
                minCost = mat[j][col];
                minCity = j;
            }
        }
        res.push_back(make_pair(minCity+1, col+1));
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            mat[minCity][j] = 0;
            mat[j][col] = INT_MAX;//将该列删除
        }
    }
    //输出结果
    for(int i = 0; i < res.size(); i++)
    {
        cout << "(" << res[i].first << "," << res[i].second << ")" << endl;
    }
    return 0;
}