AI都不会的线性代数，要求具备英语知识?

Question

Suppose u1.u2.u3 is an orthonormal basis for Rand v1, v2 is an orthonormal basis for R².
(a) (5 points) What is the rank,what are all vectors in the column space, and what is a basis for the nullspace for the matrix B=u1(v1+v2)求解释
答案是rank(B)=1;all multiples of u1;the vector of v1-v2 and u3

Answer 1

以下内容由AIGC及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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好的，让我们一步步来解决这个问题。

问题背景

假设 ( \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 的一个正交归一基，而 ( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 的一个正交归一基。我们需要分析矩阵 ( B )，其中 ( B = \mathbf{u}_1(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) )。

(a) 解释和计算

1. 确定矩阵B的秩(rank)

   • 矩阵 ( B ) 是一个 ( 3 \times 2 ) 矩阵，其列向量是 ( \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 )。
   • 由于 ( \mathbf{v}_1 ) 和 ( \mathbf{v}_2 ) 是正交归一基，它们的线性组合 ( \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 ) 仍然是一个向量，因此 ( B ) 只有一个线性独立的列向量。
   • 因此，( \text{rank}(B) = 1 )。

2. 找出矩阵B的列空间中的所有向量

   • 列空间是由矩阵的列向量生成的。在这个例子中，( B ) 的列向量是 ( \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 )。
   • 所有列空间中的向量可以表示为 ( c(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) )，其中 ( c ) 是任意标量。
   • 因此，列空间中的所有向量都是 ( \mathbf{u}_1 ) 的倍数，因为 ( B ) 是 ( \mathbf{u}_1 ) 与 ( \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 ) 的外积。

3. 确定矩阵B的零空间的基

   • 零空间是所有满足 ( B\mathbf{x} = \mathbf{0} ) 的向量的集合。
   • 我们需要解方程 ( \mathbf{u}_1(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2)\mathbf{x} = \mathbf{0} )。
   • 由于 ( \mathbf{u}_1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 的基向量，( \mathbf{u}_1 ) 与 ( \mathbf{v}_1 ) 和 ( \mathbf{v}_2 ) 正交。
   • 因此，( \mathbf{u}_1(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2) ) 与 ( \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 ) 和 ( \mathbf{u}_3 ) 正交。
   • 这意味着 ( \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 ) 和 ( \mathbf{u}_3 ) 是 ( B ) 的零空间的基向量。

结论

• 秩：( \text{rank}(B) = 1 )
• 列空间：所有向量是 ( \mathbf{u}_1 ) 的倍数。
• 零空间基：向量 ( \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 ) 和 ( \mathbf{u}_3 )。

这样，我们就完成了对这个问题的分析和解释。