Suppose u1.u2.u3 is an orthonormal basis for R3 and v1, v2 is an orthonormal basis for R².
(a) (5 points) What is the rank,what are all vectors in the column space, and what is a basis for the nullspace for the matrix B=u1(v1+v2)?
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Ai都不会,要一点英语知识
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- GISer Liu 2024-07-21 19:03关注
该回答引用自GPT-3.5, 由博主 GISer Liu 编写:
好的,我们来逐步分析并解决这个问题。
问题分析
用户提出的问题涉及线性代数中的矩阵、基、秩和零空间的概念。具体问题如下:
- 给定 ( u1, u2, u3 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 的一个标准正交基, ( v1, v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 的一个标准正交基。
- 矩阵 ( B = u1(v1 + v2) )。
- 需要求解矩阵 ( B ) 的秩、列空间中的所有向量以及零空间的一个基。
解决方案
(a) 矩阵 ( B ) 的秩
矩阵 ( B ) 的定义:
[
B = u1(v1 + v2)
]
其中 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的一个向量, ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的一个向量。矩阵 ( B ) 的形式:
[
B = \begin{pmatrix}
u1 \cdot (v1 + v2)
\end{pmatrix}
]
由于 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的向量, ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的向量,矩阵 ( B ) 是一个 ( 3 \times 2 ) 的矩阵。秩的计算:
- ( B ) 的列空间是由 ( u1(v1 + v2) ) 生成的。
- 由于 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的非零向量, ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的非零向量, ( B ) 的秩为 1。
因此,矩阵 ( B ) 的秩为 1。
(b) 列空间中的所有向量
- 列空间是由 ( u1(v1 + v2) ) 生成的。
- 所有列空间中的向量可以表示为 ( c \cdot u1(v1 + v2) ),其中 ( c ) 是任意实数。
(c) 零空间的一个基
零空间是满足 ( Bx = 0 ) 的所有向量 ( x )。
由于 ( B ) 的秩为 1,零空间的维数为 ( 2 - 1 = 1 )。
零空间的一个基可以通过求解 ( Bx = 0 ) 得到。
设 ( x = \begin{pmatrix} x1 \ x2 \end{pmatrix} ),则
[
Bx = u1(v1 + v2) \begin{pmatrix} x1 \ x2 \end{pmatrix} = 0
]
这意味着 ( x1(v1 + v2) + x2(v1 + v2) = 0 ),即 ( (x1 + x2)(v1 + v2) = 0 )。由于 ( v1 + v2 ) 是非零向量,必须有 ( x1 + x2 = 0 )。
因此,零空间的一个基为 ( \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} )。
最终答案
- 矩阵 ( B ) 的秩为 1。
- 列空间中的所有向量为 ( c \cdot u1(v1 + v2) ),其中 ( c ) 是任意实数。
- 零空间的一个基为 ( \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} )。
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