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Question

Suppose u1.u2.u3 is an orthonormal basis for R3 and v1, v2 is an orthonormal basis for R².
(a) (5 points) What is the rank,what are all vectors in the column space, and what is a basis for the nullspace for the matrix B=u1(v1+v2)?

Answer 1

该回答引用自GPT-3.5, 由博主 GISer Liu 编写：

好的，我们来逐步分析并解决这个问题。

问题分析

用户提出的问题涉及线性代数中的矩阵、基、秩和零空间的概念。具体问题如下：

• 给定 ( u1, u2, u3 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 的一个标准正交基， ( v1, v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 的一个标准正交基。
• 矩阵 ( B = u1(v1 + v2) )。
• 需要求解矩阵 ( B ) 的秩、列空间中的所有向量以及零空间的一个基。

解决方案

(a) 矩阵 ( B ) 的秩

1. 矩阵 ( B ) 的定义：
   [
   B = u1(v1 + v2)
   ]
   其中 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的一个向量， ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的一个向量。

2. 矩阵 ( B ) 的形式：
   [
   B = \begin{pmatrix}
   u1 \cdot (v1 + v2)
   \end{pmatrix}
   ]
   由于 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的向量， ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的向量，矩阵 ( B ) 是一个 ( 3 \times 2 ) 的矩阵。

3. 秩的计算：

   • ( B ) 的列空间是由 ( u1(v1 + v2) ) 生成的。
   • 由于 ( u1 ) 是 ( \mathbb{R}^3 ) 中的非零向量， ( v1 + v2 ) 是 ( \mathbb{R}^2 ) 中的非零向量， ( B ) 的秩为 1。

   因此，矩阵 ( B ) 的秩为 1。

(b) 列空间中的所有向量

• 列空间是由 ( u1(v1 + v2) ) 生成的。
• 所有列空间中的向量可以表示为 ( c \cdot u1(v1 + v2) )，其中 ( c ) 是任意实数。

(c) 零空间的一个基

• 零空间是满足 ( Bx = 0 ) 的所有向量 ( x )。

• 由于 ( B ) 的秩为 1，零空间的维数为 ( 2 - 1 = 1 )。

• 零空间的一个基可以通过求解 ( Bx = 0 ) 得到。

  设 ( x = \begin{pmatrix} x1 \ x2 \end{pmatrix} )，则
  [
  Bx = u1(v1 + v2) \begin{pmatrix} x1 \ x2 \end{pmatrix} = 0
  ]
  这意味着 ( x1(v1 + v2) + x2(v1 + v2) = 0 )，即 ( (x1 + x2)(v1 + v2) = 0 )。

  由于 ( v1 + v2 ) 是非零向量，必须有 ( x1 + x2 = 0 )。

  因此，零空间的一个基为 ( \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} )。

最终答案

• 矩阵 ( B ) 的秩为 1。
• 列空间中的所有向量为 ( c \cdot u1(v1 + v2) )，其中 ( c ) 是任意实数。
• 零空间的一个基为 ( \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} )。

希望这个解答能帮助您理解并解决这个问题。如果有任何疑问，欢迎继续提问！

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