一个关于C++的问题算法题

Question

请问各位，怎么用时间复杂度最小的方法计算出 ∏ni=1popcount(i)模10000007的值（其中popcount(i)表示i二进制表示中1的个数）

Answer 1

以下回答参考GPT并且由Bony-整理：
可以使用前缀和和动态规划的思想来解决这个问题。

首先，我们可以使用一个数组f[i]表示popcount(i)，其中popcount(i)表示i二进制表示中1的个数。可以使用位运算实现这个功能，如下所示：

int popcount(int x) {
    int res = 0;
    while (x > 0) {
        res += (x & 1);
        x >>= 1;
    }
    return res;
}

接下来，我们可以使用动态规划的思想来计算f[i]的前缀和sum[i]，其中sum[i]表示从1到i的所有数的popcount之和。具体地，对于i > 0，有如下递推式：

sum[i] = sum[i-1] + f[i]

我们可以使用一个数组dp[i]来保存计算过程中的中间结果，其中dp[i]表示对于所有二进制表示中有j个1的数，其乘积模10000007后的值，且j >= i。可以使用如下递推式计算dp[i]：

dp[i] = (dp[i-1] * dp[i-1]) % MOD;
for (int j = i; j <= n; j++) {
    if (popcount(j) == i) {
        dp[i] = (dp[i] * (sum[j] - sum[j - (1 << i)])) % MOD;
    }
}

其中，MOD表示取模的值，n表示所有数中二进制表示中1的个数的最大值。在上面的递推式中，第一行表示先计算出dp[i-1]的平方，第二行表示对于所有二进制表示中有i个1的数j，计算(sum[j] - sum[j - (1 << i)])并乘到dp[i]上。

最终的答案就是dp[n]。这个算法的时间复杂度为O(n\log n)，其中n表示所有数中二进制表示中1的个数的最大值。