信号与系统卷积，冲激函数，单位阶跃函数

Question

请问一下，这一步变形怎么来的，看了很久也没看到书上有写这些公式之类的，这是卷积的哪一个性质？谢谢了

Answer 1

让阿豪来帮你解答，本回答参考chatgpt3.5编写提供，如果还有疑问可以评论或留言

这是卷积定理的一个应用，也被称为频域乘性定理。 首先，将卷积的定义式转化为积分形式： $$ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau $$ 接着，对上式进行傅里叶变换： $$ \begin{aligned} \mathcal{F}[(f*g)(t)]&=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau\right]e^{-i\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)e^{-i\omega (t-\tau)}dt\right]e^{i\omega\tau}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{-i\omega (t-\tau)}dt\right]e^{i\omega\tau}d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{i\omega\tau}\left[\int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{-i\omega t}dt\right]d\tau\\ &=\mathcal{F}[f(t)]\cdot\mathcal{F}[g(t)]\\ &=F(\omega)G(\omega) \end{aligned} $$ 因此，频域中两个信号的卷积等于它们在频域中的模长的乘积。这就是频域乘性定理的表述形式。 对于本问题中的式子： $$ |\hat{G}(\omega)|=|\hat{F}(\omega)\cdot\hat{H}(\omega)| $$ 可以根据频域乘性定理得出。其中，$\hat{F}(\omega)$和$\hat{H}(\omega)$分别表示$f(x)$和$h(x)$的傅里叶变换，$\hat{G}(\omega)$表示$g(x)$的傅里叶变换。