BP算法与改进BP算法求解广义逆矩阵

Question

这个代码的本意是对比BP算法和改进的BP算法求解广义逆矩阵的结果以及他们结果的误差对比图，但是代码求出来的没有误差，但是用pinv函数计算得到的有误差，突出不了改进的BP算法的优越性，想修改一下算法突出其优越性，目标误差需要这么大但是gradient（梯度不兼容），怎么修改比较好，急！希望能得到建议！

% 示例矩阵 A
A = [4 1 0;3 0 3];
% 目标误差
target_error = 1e-16;
 
% BP算法求解广义逆矩阵
function G = BP_algorithm(A， target_error)
    % 初始化G矩阵
    G = pinv(A);
    error = norm(A * G * A - A， 'fro');
    while error > target_error
        % 计算梯度
        gradient = -2 * (A' * (A * G - A));
        % 更新G矩阵
        G = G + 0.1 * gradient; % 这里的学习率可以根据需要调整
        error = norm(A * G * A - A， 'fro');
    end
end
 
% 改进的BP算法求解广义逆矩阵
function G = improved_BP_algorithm(A， target_error)
    % 初始化G矩阵
    G = pinv(A);
    error = norm(A * G * A - A， 'fro');
    while error > target_error
        % 计算梯度
        gradient = -2 * (A' * (A * G - A) * A);
        % 更新G矩阵
        G = G + 0.1 * gradient; % 这里的学习率可以根据需要调整
        error = norm(A * G * A - A， 'fro');
    end
end
 
% 调用BP算法求解
G_BP = BP_algorithm(A， target_error);
 
% 调用改进的BP算法求解
G_improved_BP = improved_BP_algorithm(A， target_error);
 
% 计算误差
error_BP = norm(A * G_BP * A - A， 'fro');
error_improved_BP = norm(A * G_improved_BP * A - A， 'fro');
 
% 打印误差
fprintf('BP算法求解的误差: %f\n'， error_BP);
fprintf('改进的BP算法求解的误差: %f\n'， error_improved_BP);
 
% 绘制误差对比图
figure;
plot([1, 2], [error_BP, error_improved_BP], '-o', 'LineWidth', 2); % 使用'-'线型和'o'标记点
xticks([1, 2]);
xticklabels({'BP算法', '改进的BP算法'});
ylabel('误差');
title('BP算法与改进的BP算法求解广义逆矩阵的误差对比');
grid on; % 添加网格线以增强可视化效果

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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从您提供的代码来看，BP算法和改进的BP算法在求解广义逆矩阵时使用的是相同的迭代更新规则，即梯度下降法。为了强调改进的BP算法的优越性，我们需要在梯度计算上进行一些修改。在原始代码中，改进的BP算法只是多了一个矩阵A的乘法，但这并没有显著改变梯度的方向或步长。我们可以尝试以下两种方法来增强对比：

1. 使用Levenberg-Marquardt策略：这是一种结合了梯度下降和拟牛顿法的优点的优化策略，可以动态调整学习率。在计算梯度时，可以添加一个学习率衰减因子，或者在梯度较大的情况下降低学习率，使得改进的BP算法在收敛速度和稳定性上有所提升。

function G = improved_BP_algorithm(A, target_error, initial_learning_rate, decay_factor)
    G = pinv(A);
    error = norm(A * G * A - A, 'fro');
    alpha = initial_learning_rate; % 初始学习率
    while error > target_error
        gradient = -2 * (A' * (A * G - A) * A);
        % Levenberg-Marquardt策略：如果梯度平方和较大，学习率减小
        if norm(gradient, 'fro')^2 > some_threshold, % 增加一个阈值
            alpha = alpha * decay_factor; % 学习率衰减
        end
        G = G + alpha * gradient;
        error = norm(A * G * A - A, 'fro');
    end
end

这里，some_threshold 和 decay_factor 是需要根据实际情况调整的参数。

1. 使用动量法：在梯度下降中引入动量可以加速收敛并减少震荡。这可以通过累加过去几轮的梯度来更新矩阵，使更新更加平滑。

function G = improved_BP_algorithm_with_momentum(A, target_error, initial_learning_rate, momentum_factor)
    G = pinv(A);
    error = norm(A * G * A - A, 'fro');
    velocity = zeros(size(G)); % 初始化动量
    while error > target_error
        gradient = -2 * (A' * (A * G - A) * A);
        velocity = momentum_factor * velocity + gradient; % 动量更新
        G = G + initial_learning_rate * velocity; % 使用动量后的梯度
        error = norm(A * G * A - A, 'fro');
    end
end

这里的momentum_factor是一个介于0和1之间的常数，控制动量的大小。

请根据您的需求选择其中一个或两个方法进行修改，并根据实际运行情况调整相关参数，以观察改进的BP算法是否在误差方面有显著的优势。