信号与系统 傅立叶变换

Question

为什么w=0的时候，上式为F(0)啊，不应该是-F(0)吗？？

Answer 1

以下内容由CHATGPT及阿里嘎多学长共同生成、有用望采纳：

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在信号与系统的傅立叶变换中，时移性质是一个非常重要的概念。首先，我们来理解一下傅立叶变换的时移性质。对于一个连续时间信号( f(t) )，其傅立叶变换定义为：

[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt ]

如果信号( f(t) )发生时移，即( f(t) )变为( f(t - \tau) )，那么其傅立叶变换会相应地发生相位变化，这是时移性质的体现。具体来说，如果信号向右移动( \tau )，则傅立叶变换中的相位因子( e^{-j\omega t} )会乘以一个( e^{j\omega \tau} )，即：

[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t - \tau) e^{-j\omega t} dt = e^{j\omega \tau} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega (t - \tau)} dt ]

现在，我们来分析你的问题。在图像中提到的公式，当( \omega = 0 )时，相位因子( e^{-j\omega t} )变为1，因此傅立叶变换的公式简化为：

[ F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j0 \cdot t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt ]

这里，( e^{-j0 \cdot t} )就是1，所以没有负号。这就是为什么当( \omega = 0 )时，表达式变为( F(0) )而不是( -F(0) )的原因。

至于图像中提到的时域积分性质，它指的是如果信号( f(t) )在时域有一个直流分量（即当( t = 0 )时的值），那么在傅立叶变换中，这个直流分量会表现为( F(0) )处的非零值。根据帕塞瓦尔定理（Parseval's theorem），时域信号的能量与频域信号的能量是相等的，这可以通过以下公式表示：

[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega ]

这里，( F(0) )的模的平方给出了信号在( \omega = 0 )处的能量，也就是直流分量的能量。

希望这能帮助你理解傅立叶变换的时移性质以及为什么在( \omega = 0 )时表达式是( F(0) )。如果你需要更多的解释或示例，随时告诉我。