梅加强数分P30例2.2.7

Question

看到第三行时卡住了，黄色荧光笔的地方，为什么是得到bn上极限呢

Answer 1

以下回复参考：皆我百晓生、券券喵儿等免费微信小程序作答:

从你给出的图文中，主要涉及了数列极限的性质和证明。关于为什么“得到bn的上极限”，我可以从以下几个方面来解释：

1. 数列与极限的基本概念：在数列的极限定义中，上极限和下极限是对应的两个概念。上极限关注数列从某一数值逐渐增大直至达到一个稳定值，而下极限则是从大到小逐渐减小至稳定值。在这个上下文中，“得到bn的上极限”意味着在某种条件下，数列bn趋于某一正数的过程是从大到小逐渐稳定到这个数。这是数列收敛性质的一个表现。
2. 证明过程的理解：在给出的证明过程中，使用了数列极限的保序性，即如果数列的每一项都有相同的符号，并且在取极限的过程中不改变这一符号，那么在求极限的过程中可以使用这种性质来简化证明过程。这里的证明过程是说明了当数列an趋向于一个数a时，新的数列bn也趋向于同一个数a，而且这一过程是从小到大（通过放缩的方法证明上界和下界同时趋近于同一值）。这实质上展现了数列bn也是收敛的，且收敛于a这一结果。在这个过程中使用到了上下界或者上下极限的概念来描述这一变化过程。也就是说通过极限的性质和对不等式进行适当的处理来得到了bn的上极限。这也是在描述bn趋向于某个值的方式是通过一个由大到小的变化过程。这个结论也是符合数学逻辑的。所以在这一步中使用“上极限”这个词是合理的。总的来说，“得到bn的上极限”是通过对数列的性质和不等式的处理，结合数学逻辑得出的结论。这涉及到数列的收敛性、不等式的处理和极限的保序性等数学概念。理解这些概念有助于理解为什么此处会得到上极限的结论。在实际的学习中可以通过对比和理解相关概念，加深对这部分内容的理解。同时在实际的数学证明过程中也要注意理解每个步骤的含义以及是如何推导出结果的这样才能更全面地理解数学概念。希望能对你理解这一问题有所帮助。如果有进一步的问题可以继续向我提问哦！