二阶常微分方程初值问题的数值解法

Question

求欧拉法和改进欧拉法求解第一张PPT中初值问题的公式的具体推导过程

Answer 1

对于二阶常微分方程的初值问题，欧拉法和改进欧拉法都是常用的数值解法。下面给出具体的推导过程和实现步骤。 1. 欧拉法的推导过程 对于一阶常微分方程 $y' = f(x,y)$，欧拉法的数值解法是通过下面的公式迭代计算： $$y_{i+1} = y_i + f(x_i,y_i) \Delta x$$ 对于二阶常微分方程 $y'' = f(x,y,y')$，可以转化成一个一阶方程组： $$ \begin{cases} y_1' = y_2\\ y_2' = f(x,y_1,y_2) \end{cases} $$ 然后可以利用欧拉法求解，具体的推导过程如下： - 初始化：给出初始条件 $x_0,y_1(x_0),y_2(x_0)$，以及步长 $\Delta x$ - 迭代计算：对于第 $i$ 步，利用欧拉法的公式计算： $$y_{1,i+1} = y_{1,i} + y_{2,i} \Delta x$$ $$y_{2,i+1} = y_{2,i} + f(x_i,y_{1,i},y_{2,i})\Delta x$$ - 重复迭代直到达到所需的精度或结束条件 2. 改进欧拉法的推导过程 欧拉法的缺点是误差较大，因为它只使用了上一个时刻的导数值，没有利用更多的信息。为了改进这一点，可以使用改进欧拉法（也称作Heun方法），通过使用两个点的导数值来计算下一个点的值。 具体的推导过程如下： - 初始化：给出初始条件 $x_0,y_1(x_0),y_2(x_0)$，以及步长 $\Delta x$ - 迭代计算： - 利用欧拉法计算预测值 $y_{2,pred} = y_{2,i} + f(x_i,y_{1,i},y_{2,i})\Delta x$ - 利用预测值计算平均导数值 $\bar{f}_i = \frac{1}{2}( f(x_i,y_{1,i},y_{2,i}) + f(x_{i+1},y_{1,i}+\Delta x y_{2,pred},y_{2,pred}))$ - 使用平均导数值计算下一个点的值： $$y_{1,i+1} = y_{1,i} + \Delta x y_{2,pred}$$ $$y_{2,i+1} = y_{2,i} + \bar{f}_i\Delta x$$ - 重复迭代直到达到所需的精度或结束条件 3. 实现代码 以下是使用Python实现欧拉法和改进欧拉法的代码示例。假设要求解二阶常微分方程 $y'' = -10y$，初始条件为 $y(0) = 1, y'(0) = 0$，时间区间为 $[0,1]$，步长为 $0.01$。 欧拉法的实现代码如下： ``` import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # define the function for the second-order derivative def f(x, y1, y2): return -10*y1 # set initial conditions x0 = 0 y10 = 1 # y(0) = 1 y20 = 0 # y'(0) = 0 h = 0.01 # step size t = np.arange(x0, 1+h, h) # time interval [0,1] # solve the equation using Euler's method y1 = np.zeros(t.shape) y2 = np.zeros(t.shape) y1[0] = y10 y2[0] = y20 for i in range(t.size-1): y1[i+1] = y1[i] + y2[i]*h y2[i+1] = y2[i] + f(t[i], y1[i], y2[i])*h # plot the result plt.plot(t,y1)