为什么有函数傅里叶变换结果为0？如何直观理解，如F(-jtδ(t))

Question

为什么有函数傅里叶变换结果为0？如何直观理解，如F(-jtδ(t))
背景:δ(t)的傅里叶变换为恒1，根据象函数的导数性质得到以上结论。已Matlab验证成立。

Answer 1

以下内容引用自GPT，有用望采纳：
傅里叶变换是一种将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的和的方法。在某些情况下，函数的傅里叶变换可能会得到零值。让我们来详细讨论一下。

首先，让我们谈谈脉冲函数 δ(t) 的傅里叶变换。脉冲函数是一个在原点处为零，且在原点上有无穷大的幅度的函数。它的傅里叶变换为常数 1。这是因为脉冲函数实际上包含了所有频率成分的无限多个正弦和余弦函数，且它们相互抵消，只剩下一个常数。

现在让我们来看一个特殊的例子，即 F(-jω)。这里，ω 是实数。根据傅里叶变换的定义，F(-jω) 表示函数 f(t) 在频率为 ω 时的傅里叶系数。如果 F(-jω) 等于零，那意味着该函数 f(t) 在频率为 ω 时没有任何贡献。

一个简单的例子是，如果你考虑一个实数域上的偶函数，对应的频谱为实数值。这意味着在频率为 ω 的负数和正数上的傅里叶系数是相等的。当 f(t) 的偶函数部分在频率为 ω 的负数上贡献了一定值，它的奇函数部分在频率为 ω 的正数上贡献了相反的值，二者完全抵消，结果为零。这就是为什么傅里叶变换结果为零的情况可能发生的一个例子。

关于函数 F(-jtδ(t))，这是一个复合函数，其中 δ(t) 表示脉冲函数，j 是虚数单位。根据傅里叶变换的线性性质，我们可以将该函数拆分为两部分：F(t) 和 F(-jtδ(t))。

在这个情况下，如果函数 F(t) 的傅里叶变换为零，即 F(-jω) = 0，那么函数 F(-jtδ(t)) 的傅里叶变换也会为零。这是因为 F(-jtδ(t)) 只是在原来函数 F(t) 的频谱上加上了一个单位冲击。

希望这种解释能帮助您理解为什么某些函数的傅里叶变换结果为零。如果您还有其他问题，请随时提问。我很乐意帮助您。