请问现在有多目标,希望用加权方法转换成单目标,但直接加权各个目标的量纲不一样,请问这种情况下怎么处理量纲或者目标函数呢
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- 量纲处理的重要性
- 在多目标优化中,当目标函数具有不同量纲时,直接加权是不合适的。例如,一个目标可能是以米为单位衡量的长度,另一个目标可能是以秒为单位衡量的时间。不同量纲的目标数值大小范围可能差异很大,直接加权会使量纲大的目标在优化过程中占主导地位,从而忽略了量纲小的目标的影响。
- 无量纲化方法
- 归一化方法
- 线性归一化:
- 对于目标函数$f_i(x)$,假设其最小值为$m_i=\min_{x\in S}f_i(x)$,最大值为$M_i = \max_{x\in S}f_i(x)$,其中$S$是可行解空间。则归一化后的目标函数$y_i(x)=\frac{f_i(x)-m_i}{M_i - m_i}$。
- 例如,在一个多目标优化问题中,有目标函数$f_1(x)$表示成本(单位:元),取值范围是$[100,1000]$,$f_2(x)$表示生产时间(单位:小时),取值范围是$[1,10]$。对于$f_1(x)$,若$x_0$使得$f_1(x_0) = 500$,则$y_1(x_0)=\frac{500 - 100}{1000 - 100}=\frac{400}{900}=\frac{4}{9}$。
- 向量归一化:
- 计算$y_i(x)=\frac{f_i(x)}{\sqrt{\sum_{x\in S}f_i^2(x)}}$。这种方法将目标函数的值转化为相对于其向量长度的比例。
- 线性归一化:
- 标准化方法(Z - score标准化)
- 首先计算目标函数$f_i(x)$的均值$\mu_i=\frac{1}{n}\sum_{x\in S}f_i(x)$和标准差$\sigma_i=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{x\in S}(f_i(x)-\mu_i)^2}$,其中$n$是样本数量(可行解的数量)。然后标准化后的目标函数为$z_i(x)=\frac{f_i(x)-\mu_i}{\sigma_i}$。
- 归一化方法
- 目标函数的处理与加权
- 在对目标函数进行无量纲化处理后,可以进行加权。设处理后的目标函数为$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_k(x)$,对应的权重为$w_1,w_2,\cdots,w_k$,其中$\sum_{i = 1}^k w_i=1$且$w_i\geqslant0$。则单目标函数可以表示为$F(x)=\sum_{i = 1}^k w_i y_i(x)$。
- 在Objective - C中,如果要实现上述多目标到单目标的转换,可以定义目标函数的计算类。假设我们有两个目标函数$f1$和$f2$,以下是一个简单的示例代码:
// 假设这是计算目标函数f1的方法,这里只是示例,实际根据具体问题计算 - (double)f1:(NSArray*)input { // 计算逻辑 return 0.0; } // 假设这是计算目标函数f2的方法 - (double)f2:(NSArray*)input { // 计算逻辑 return 0.0; } // 归一化方法 - (double)normalize:(double)value minValue:(double)min maxValue:(double)max { return (value - min)/(max - min); } // 组合成单目标函数,这里假设权重w1和w2已经确定 - (double)singleObjective:(NSArray*)input w1:(double)w1 w2:(double)w2 { double minF1 = [self minF1];// 假设可以获取f1的最小值 double maxF1 = [self maxF1];// 假设可以获取f1的最大值 double minF2 = [self minF2];// 假设可以获取f2的最小值 double maxF2 = [self maxF2];// 假设可以获取f2的最大值 double f1 = [self f1:input]; double f2 = [self f2:input]; double y1 = [self normalize:f1 minValue:minF1 maxValue:maxF1]; double y2 = [self normalize:f2 minValue:minF2 maxValue:maxF2]; return w1 * y1+w2 * y2; }
- 在Matlab中,实现类似的功能会更加简洁。假设我们有两个目标函数$f1$和$f2$存储在向量中,以下是示例代码:
% 生成一些示例数据,这里假设f1和f2已经计算好 f1 = [1:10]; f2 = [10: - 1:1]; % 归一化 min_f1 = min(f1); max_f1 = max(f1); min_f2 = min(f2); max_f2 = max(f2); y1=(f1 - min_f1)/(max_f1 - min_f1); y2=(f2 - min_f2)/(max_f2 - min_f2); % 假设权重 w1 = 0.5; w2 = 0.5; % 组合成单目标函数 F = w1*y1+w2*y2;
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